Nishijima,1969,Fields and Particles,5-5

5-5 導関数結合とラグランジアン法

5-5 DERIVATIVE COUPLINGS AND LAGRANGIAN METHOD

これまで本章では、次のように仮定できる単純な相互作用のみを議論してきた。

So far in this chapter we have disucussed only simple interactions for which we may assume

$$\begin{array}{}\text{(5-160)}& {\mathcal{H}}_{\text{int}}(x)=-{\mathcal{L}}_{\text{int}}\end{array}$$

しかしながら、${\mathcal{L}}_{\text{int}}$が場の演算子の導関数を含む場合、もはやその限りではない。全ラグランジアン密度を次のように定義する。

This is, however, no longer the case when ${\mathcal{L}}_{\text{int}}$ involves the derivatives of field operators.The total Lagrangian density as

$$\begin{array}{}\text{(5-161)}& \mathcal{L}(x)={\mathcal{L}}_{\text{f}}(x)+{\mathcal{L}}_{\text{int}}(x)\end{array}$$

与えられたラグランジアン密度から、相互作用表示におけるハミルトニアン密度の相互作用項${\mathcal{H}}_{\text{int}}(x)$を求めよう。

Let us find the interaction Hamiltonian density ${\mathcal{H}}_{\text{int}}(x)$ in the interaction representation from the given Lagrangian density.

${\mathcal{L}}_{\text{int}}(x)$ がスピンを持たない実スカラー場${\phi }_{\alpha }$の一次導関数を含むと仮定する。複素場に対しては、常に2-4節で導入された実スカラー場の表現を用いることができる。

We assume that ${\mathcal{L}}_{\text{int}}(x)$ involves the first order derivatives of spinless real fileds ${\varphi }_{\alpha }$.For complex fileds we can always employ the real filed representations introduced in Section 2-4.

${\phi }_{\alpha }(x)$に対して正準共役な演算子は、自由場において次のように定義される。

The operator that is canonlcally conjugate to ${\phi }_{\alpha }(x)$ is defind, for a free field, as

$$\begin{array}{}\text{(5-162)}& {\pi }_{\alpha }(x)=\frac{\partial {\mathcal{L}}_{\text{f}}}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }(x)}={\dot{\phi }}_{\alpha }(x)\end{array}$$

そして、相互作用する場においては次のように定義される。

and for an interacting field, as

$$\begin{array}{}\text{(5-163)}& {\pi }_{\alpha }^{\prime }(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }(x)}={\dot{\phi }}_{\alpha }(x)+\frac{\partial {\mathcal{L}}_{\text{int}}}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }(x)}\end{array}$$

これから、相互作用描像とハイゼンベルグ描像の関係を勉強する。ヤン＝フェルドマン形式と関連して示されたように、その関係は次のように与えられる。

We now shall study the relationship between the interaction and Heisenberg representations. As has been shown in connection with the Yang-Feldman formalism, the relationship is given by

$$\begin{array}{}\text{(5-164)}& {\phi }_{\alpha }(x)=\text{U}(x_0,-\mathrm{\infty }{)}^{-1}{\phi }_{\alpha }^{\text{in}}(x)\text{U}(x_0,-\mathrm{\infty })\end{array}$$

${\phi }_{\alpha }$に対して正準共役な演算子については、次の関係が成り立つ。

For the operator that is canonlcally conjugate to ${\phi }_{\alpha }$ we have

$$\begin{array}{}\text{(5-165)}& {\pi }_{\alpha }^{\prime }(x)=\text{U}(x_0,-\mathrm{\infty }{)}^{-1}{\pi }_{\alpha }^{\text{in}}(x)\text{U}(x_0,-\mathrm{\infty })\end{array}$$

相互作用描像における演算子は、上付き添字inで表される。ハイゼンベルク描像におけるハミルトニアン密度は、次のように与えられる。

The operators in the interaction representation are designated by a superscript, in. The Hamiltonian density in the Heisenberg representation is given by

$$\begin{array}{}\text{(5-166)}& \mathcal{H}(x)=\sum _{\alpha }{\pi }_{\alpha }^{\prime }(x){\dot{\phi }}_{\alpha }(x)-\mathcal{L}({\phi }_{\alpha }(x),{\dot{\phi }}_{\alpha }(x))\end{array}$$

逆変換公式を使用して

Using the inverse transformation formulas

$$\begin{array}{}\text{(5-168)}& \text{U}(x_0,-\mathrm{\infty }){\phi }_{\alpha }(x)\text{U}(x_0,-\mathrm{\infty }{)}^{-1}={\phi }_{\alpha }^{\text{in}}(x)\end{array}$$

そして

and

$$\begin{array}{}\text{(5-169)}& \text{U}(x_0,-\mathrm{\infty }){\pi }_{\alpha }^{\prime }(x)\text{U}(x_0,-\mathrm{\infty }{)}^{-1}={\pi }_{\alpha }^{\text{in}}(x)\end{array}$$

私たちは${\dot{\phi }}_{\alpha }$が次のように変換されることを見出だす。

we find that ${\dot{\phi }}_{\alpha }$ is transformed as

$$\begin{array}{rcl}\text{U}(x_0,-\mathrm{\infty }){\dot{\phi }}_{\alpha }(x)\text{U}(x_0,-\mathrm{\infty }{)}^{-1}& =& \text{U}(x_0,-\mathrm{\infty })({\pi }_{\alpha }^{\prime }(x)-\frac{\partial {\mathcal{L}}_{\text{int}}}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }(x)})\text{U}(x_0,-\mathrm{\infty }{)}^{-1}\\ & =& {\pi }_{\alpha }^{\text{in}}(x)-\frac{\partial {\mathcal{L}}_{\text{int}}}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}(x)}\\ \text{(5-170)}& & =& {\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}(x)-\frac{\partial {\mathcal{L}}_{\text{int}}}{\partial {\dot{\phi }}^{\text{in}}(x)}\end{array}$$

したがって

Hence

$$\begin{array}{rcl}{\mathcal{H}}^{\text{in}}(x)& =& \sum _{\alpha }{\pi }_{\alpha }^{\text{in}}(x)({\pi }_{\alpha }^{\text{in}}(x)-\frac{\partial {\mathcal{L}}_{\text{int}}}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}(x)})\\ \text{(5-171)}& & & -\mathcal{L}({\phi }_{\alpha }^{\text{in}}(x),{\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}(x)-\frac{\partial {\mathcal{L}}_{\text{int}}}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}(x)})\end{array}$$

第2項を適切なテイラー級数に展開します。

We expand the second term into the appropriate Taylor series:

$$\begin{array}{rcl}\mathcal{L}({\phi }_{\alpha }^{\text{in}}(x),{\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}(x)-\frac{\partial {\mathcal{L}}_{\text{int}}}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}(x)})& =& \mathcal{L}({\phi }_{\alpha }^{\text{in}}(x),{\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}(x))\\ & & -\sum _{\alpha }\frac{\partial {\mathcal{L}}_{\text{int}}}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}(x)}\\ & & \times \frac{\partial ({\phi }_{\alpha }^{\text{in}}(x),{\dot{\phi }}^{\text{in}})}{\partial {\dot{\phi }}^{\text{in}}}\\ & & +\frac{1}{2}\sum _{\alpha ,\beta }\frac{\partial {\mathcal{L}}_{\text{int}}}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}(x)}\frac{\partial {\mathcal{L}}_{\text{int}}}{\partial {\dot{\phi }}_{\beta }^{\text{in}}(x)}\\ & & \times \frac{{\partial }^2\mathcal{L}({\phi }_{\alpha }^{\text{in}},{\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}})}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}(x)\partial {\dot{\phi }}_{\beta }^{\text{in}}(x)}\end{array}$$

そして、次のことを使用します。

When then use

$$\begin{array}{rcl}\frac{{\partial }^2\mathcal{L}}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}\partial {\dot{\phi }}_{\beta }^{\text{in}}}& =& {\delta }_{\alpha \beta }\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}}& =& {\dot{\phi }}^{\text{in}}+\frac{\partial {\mathcal{L}}_{\text{int}}}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}}\\ \text{(5-172)}& & =& {\pi }_{\alpha }^{\text{in}}+\frac{\partial {\mathcal{L}}_{\text{int}}}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}}\end{array}$$

これらの結果を$\mathcal{L}$に代入すると

Substitution of these results into $\mathcal{L}$ yields

$$\begin{array}{r}\mathcal{L}({\phi }_{\alpha }^{\text{in}}(x),{\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}(x)-\frac{\partial {\mathcal{L}}_{\text{int}}}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}(x)})\\ & =& \mathcal{L}({\phi }_{\alpha }^{\text{in}}(x),{\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}(x))-\sum _{\alpha }{\pi }_{\alpha }^{\text{in}}(x)\frac{\partial L_{\text{int}}}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}(x)}\\ \text{(5-173)}& & & -\frac{1}{2}\sum _{\alpha }\frac{\partial L_{\text{int}}}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}(x)}\cdot \frac{\partial L_{\text{int}}}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}(x)}\end{array}$$

そして、したがって

and hence

$$\begin{array}{rcl}{\mathcal{H}}^{\text{in}}(x)& =& \sum _{\alpha }{\pi }_{\alpha }^{\text{in}}{\pi }_{\alpha }^{\text{in}}-\mathcal{L}({\phi }_{\alpha }^{\text{in}}(x),{\phi }_{\alpha }^{\text{in}}(x))\\ & & +\frac{1}{2}\sum _{\alpha }\frac{\partial {\mathcal{L}}_{\text{int}}}{{\dot{\partial }}_{\alpha }^{\text{in}}(x)}\cdot \frac{\partial {\mathcal{L}}_{\text{int}}}{{\dot{\partial }}_{\alpha }^{\text{in}}(x)}\\ \text{(5-174)}& & =& {\mathcal{H}}_{\text{f}}^{\text{in}}(x)+{\mathcal{H}}_{\text{int}}^{\text{in}}(x)\end{array}$$

ここで

where

$$\begin{array}{}\text{(5-175)}& {\mathcal{H}}_{\text{int}}^{\text{in}}(x)=-{\mathcal{L}}_{\text{int}}^{\text{in}}(x)+\frac{1}{2}\sum _{\alpha }{\left(\frac{\partial {\mathcal{L}}_{\text{int}}}{\partial {\dot{\phi }}_{\alpha }^{\text{in}}(x)}\right)}^2\end{array}$$

例(5-1) ${\mathcal{L}}_{\text{int}}=-iF\overline{\psi }\gamma \psi (\partial \phi /\partial X_{\mu })$

Example(5-1) ${\mathcal{L}}_{\text{int}}=-iF\overline{\psi }\gamma \psi (\partial \phi /\partial X_{\mu })$