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正準方程式
最小作用の原理のラグランジアンからラグランジュ方程式を導出したように、今度は最小作用の原理をハミルトニアンで考えると、
\begin{eqnarray} \delta S&=&\sum_i^n\delta\int_{t_1}^{t_2} L(q_i,\dot{q}_i) dt\\ &=&\sum_i^n\delta\int_{t_1}^{t_2} (p_i\dot{q}_i-H(q_i,p_i)) dt\\ &=&\sum_i^n\int_{t_1}^{t_2} \left\{(\delta p_i)\dot{q}_i+p_i\delta \dot{q}_i-\frac{\delta H}{\delta q_i}\delta q_i-\frac{\delta H}{\delta p_i}\delta p_i\right\} dt \end{eqnarray}となる。第2項を部分積分すると、
$$\int_{t_1}^{t_2}p_i\delta\dot{q}_i dt=[p_i\delta q_i]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\dot{p}_i\delta q_i dt$$となり、\(\delta q_i(t_1)=\delta q_i(t_2)=0\)であるから、第1項は0になる。したがって元の式は、
\begin{eqnarray} \delta S&=&\sum_i^n\int_{t_1}^{t_2} \left\{(\delta p_i)\dot{q}_i-\dot{p}_i\delta q_i-\frac{\partial H}{\partial q_i}\delta q_i-\frac{\partial H}{\partial p_i}\delta p_i\right\} dt\\ &=&\sum_i^n\int_{t_1}^{t_2} \left\{\left(\dot{q}_i-\frac{\partial H}{\partial p_i}\right)\delta p_i-\left(\dot{p}_i+\frac{\partial H}{\partial q_i}\right)\delta q_i\right\} dt \end{eqnarray}となる。さて、最小作用の原理から、仮想変位\(\delta q_i,\delta p_i\)はあらゆる値をとる可能性があるが、上記の式は常に0でなくてはならない。したがって、
$$\boxed{\begin{eqnarray} \dot{q}_i&=&\frac{\partial H}{\partial p_i}\\ \dot{p}_i&=&-\frac{\partial H}{\partial q_i} \end{eqnarray}}$$となり、上記の式を正準方程式と言う。最小作用の原理を考える時、ラグランジュ方程式の仮想変位は\(\delta q_i\)の1変数であったが、正準方程式の仮想変位は\(\delta q_i,\delta p_i\)の2変数になり、式も2つになる。
運動方程式と正準方程式の関係
ハミルトニアンを
$$H=\frac{1}{2m}p^2+V(q)$$とする。正準方程式に代入すると、
\begin{eqnarray} \dot{q}&=&\frac{p}{m}\\ \dot{p}&=&-\frac{\partial V}{\partial q} \end{eqnarray}となる。1つ目の式の両辺を\(t\)で微分すると\(\dot{p}=m\ddot{q}\)なので、これを2つ目の式に代入すると、
$$m\ddot{q}=-\frac{\partial V}{\partial q}$$となり、運動方程式が再現される。
ハミルトン力学
力学を正準方程式で考えることをハミルトン力学と言う。正準方程式は、位置と運動量を別々な変数として扱っていてる。変数（もしくは自由度）の数は、1粒子で6個となり、N個の粒子では6N個となる。
位相空間
位置と運動量を変数とした空間を位相空間と言う。（数学の位相空間とは意味が異なるので注意）力学では、初期状態として位置と運動量が決まれば後の運動が決定する。したがって、粒子の状態は、6次元の位相空間の座標1点で表すことができる。また、N個の複数粒子で構成される系の状態は、6次元の位相空間の座標N点で表すこともできるが、6N次元の位相空間の座標1点で表すこともできる。6次元の位相空間を\(\boldsymbol{\mu}\)空間、6N次元の位相空間を\(\boldsymbol{\Gamma}\)空間と言う。それぞれの座標の軌道（もしくはトランジェクトリ）は、粒子の時間発展を表し、正準方程式によって記述される。尚、相互作用が無いとき、位相空間の軌道は交差しない。もし交差すると初期状態が決まってもその後の運動が一意に決まらなくなり矛盾する。
調和振動の例
$$H=\frac{1}{2m}p^2+\frac{1}{2}m\omega^2 q^2$$であるから、楕円の方程式\(\frac{p^2}{a^2}+\frac{q^2}{b^2}=1\)と比較して、
$$\frac{p^2}{2mH}+\frac{q^2}{\frac{2H}{m\omega^2}}=1$$となり、位相空間で考えると楕円軌道を描くことがわかる。また、楕円の面積の公式\(S=\pi ab\)より、
$$S=\pi\sqrt{2mH}\sqrt{\frac{2H}{m\omega^2}}=\frac{2\pi}{\omega}H=\frac{1}{\nu}H$$であるから、
$$H=S\nu$$となり、調和振動のエネルギーが、楕円の面積と振動数に比例することがわかる。
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