相互作用描像

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相互作用をしない場合

時刻\(t_0=0\)ですべての描像は一致するとする。量子力学の時間発展は、状態ベクトルが変化するシュレディンガー描像(添字\(S\))、

$$|\Psi(t)\rangle_S=e^{-iH(t-t_0)}|\Psi(t_0)\rangle$$

もしくは、演算子(基底ベクトル)が変化するハイゼンベルク描像(添字\(H\))、

$$Q_H(t)=e^{iH(t-t_0)}Q(t_0)e^{-iH(t-t_0)}$$

で表すことができ、どちらも結果は同じだから、

$$_S\langle\Psi(t)|Q(t_0)|\Psi(t)\rangle_S=\langle\Psi(t_0)|Q_H(t)|\Psi(t_0)\rangle$$

となる。相互作用をしない場合は、ハミルトニアンが時間に依らないのでそのまま時間発展の式が計算できるが、相互作用をする場合は、ハミルトニアンが時間で変化してしまうので時間発展の式の計算ができない。では、相互作用をする場合はどのように考えたら良いだろうか?

相互作用描像の導入

まず、ハミルトニアンを相互作用を含まない項\(H_0\)と相互作用項\(V(t)\)に分ける。

$$H(t)=H_0+V(t)$$

次にハイゼンベルク描像のように\(H_0\)で演算子(基底ベクトル)が変化する相互作用描像(添字\(I\))の演算子を定義する。

$$Q_I(t)\equiv e^{iH_0(t-t_0)}Q(t_0)e^{-iH_0(t-t_0)}$$

演算子の期待値は描像に依らないので、相互作用描像の状態\(|\Psi(t)\rangle_I\)は、

$$\begin{eqnarray}
{}_S\langle\Psi(t)|Q(t_0)|\Psi(t)\rangle_S&=& {}_I\langle\Psi(t)|Q_I(t)|\Psi(t)\rangle_I\\
&=& {}_I\langle\Psi(t)|e^{iH_0(t-t_0)}Q(t_0)e^{-iH_0(t-t_0)}|\Psi(t)\rangle_I
\end{eqnarray}$$

となる。したがって、シュレディンガー描像と相互作用描像の関係式は、

$$\fbox{\(|\Psi(t)\rangle_I=e^{iH_0(t-t_0)}|\Psi(t)\rangle_S\)}$$

となる。両辺を微分すると、

\begin{eqnarray}
i\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(t)\rangle_I&=&i\frac{\partial}{\partial t}\{e^{iH_0(t-t_0)}\}|\Psi(t)\rangle_S+e^{iH_0(t-t_0)}i\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(t)\rangle_S\\
&=&-H_0e^{iH_0(t-t_0)}|\Psi(t)\rangle_S+e^{iH_0(t-t_0)}H(t_0)|\Psi(t)\rangle_S(第2項は演算子を書き換えているが、シュレディンガー描像では演算子は常にt_0となる)\\
&=&-H_0e^{iH_0(t-t_0)}|\Psi(t)\rangle_S+e^{iH_0(t-t_0)}(H_0+V(t_0))|\Psi(t)\rangle_S\\
&=&e^{iH_0(t-t_0)}V(t_0)|\Psi(t)\rangle_S\\
&=&e^{iH_0(t-t_0)}V(t_0)e^{-iH_0(t-t_0)}|\Psi(t)\rangle_I
\end{eqnarray}
となる。先ほどの相互作用描像の演算子の定義より、
$$\fbox{\(i\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(t)\rangle_I=V_I(t)|\Psi(t)\rangle_I\)}$$
となり、ちょうどシュレディンガー描像のように\(V_I(t)\)で状態ベクトルが変化する式となる。(但し、\(V_I(t)\)が時間に依存するので、時間発展の式を表すことはできない)

以上より、相互作用描像は、演算子(基底ベクトル)がハイゼンベルク描像のように\(H_0\)で変化し、状態ベクトルがシュレディンガー描像のように\(V_I(t)\)で変化する描像だと言える。

相互作用描像のメリット

相互作用描像は、ハミルトニアンの相互作用を含まない項と相互作用項を別々に考えることで時間発展の計算を可能にしている。

相互作用を含まない項は、\(H_0\)が時間で変化しないので、従来の通り、そのまま計算できる。

相互作用項は、そのまま計算できないが、相互作用項の係数(微細構造定数)が1より小さい場合、\(V_I(t)\)を級数展開して高次の項を無視する摂動により、時間発展の計算が可能となる。

基底ベクトルの時間発展

基底ベクトルを\(|k\rangle\)と書く。シュレディンガー描像と相互作用描像の関係式より、
$$|k(t)\rangle_I=e^{iH_0(t-t_0)}|k(t)\rangle_S$$
となるが、シュレディンガー描像では基底ベクトルは時間発展せず、時刻\(t_0\)ではすべての描像は一致するから、相互作用描像の基底ベクトルの時間発展は、
$$\fbox{\(|k(t)\rangle_I=e^{iH_0(t-t_0)}|k(t_0)\rangle\)}$$
となる。自由粒子の生成・消滅演算子が時刻\(t_0(=0)\)で量子化されていることを思い出すと、実験の初期値で自由粒子の個数(生成演算子)がわかっていれば、そこから\(|k(t)\rangle_I\)を求めることができる。

以下、生成消滅演算子を使った基底ベクトルの時間発展を3通りで書いておく。もちろん、どれも同じ結果となる。

$$\begin{eqnarray}
|k(t)\rangle_I&=&a_k^\dagger(t)|0(t)\rangle_I\\
&=&e^{iH_0(t-t_0)}a_k^\dagger(t_0)|0(t_0)\rangle(上記の基底ベクトルの時間発展)\\
&=&e^{iH_0(t-t_0)}a_k^\dagger(t_0)e^{-iH_0(t-t_0)}\cdot e^{iH_0(t-t_0)}|0(t_0)\rangle(演算子と基底ベクトルが別々に時間発展)\\
&=&a_k^\dagger(t_0)e^{iH_0(t-t_0)}\cdot e^{iH_0(t-t_0)}|0(t_0)\rangle(演算子が調和振動の変位のように時間発展)
\end{eqnarray}$$

ちなみに最後の2式から、

$$e^{iH_0(t-t_0)}a_k^\dagger(t_0)e^{-iH_0(t-t_0)}=a_k^\dagger(t_0)e^{iH_0(t-t_0)}$$

となるが、キャンベル・ベーカー・ハウスドルフの公式として知られている。

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