LSZの簡約公式

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生成・消滅演算子と場の演算子の関係

LSZの簡約公式を求める前に、生成・消滅演算子と場の演算子の関係について考える。

量子力学を思い出すと、ある固有値が観測される確率振幅は、その固有関数と状態ベクトルの内積で、ちょうど状態ベクトルの展開係数となっていた。

クライン-ゴルドン方程式の内積を使って、運動量\(\boldsymbol{k}\)の固有関数\(\varphi_\boldsymbol{k}\)と状態ベクトル\(\phi\)の内積を計算してみると、
$$\begin{eqnarray}
\langle\boldsymbol{k}|\phi\rangle&=&i\int d^3\boldsymbol{x}\left(\varphi_\boldsymbol{k}^*\frac{\partial\phi}{\partial t}-\frac{\partial\varphi_\boldsymbol{k}^*}{\partial t}\phi\right)\\
&=&i\int d^3\boldsymbol{x}\left[\left\{\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^3 2\omega_\boldsymbol{k}}}e^{ikx}\right\}\left\{\int d^3\boldsymbol{k}’\frac{-i\omega_{\boldsymbol{k}’}}{\sqrt{(2\pi)^3 2\omega_{\boldsymbol{k}’}}}(a_{\boldsymbol{k}’}e^{-ik’x}-a^*_{\boldsymbol{k}’} e^{ik’x})\right\}-\left\{\frac{i\omega_\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^3 2\omega_\boldsymbol{k}}}e^{ikx}\right\}\left\{\int d^3\boldsymbol{k}’\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^3 2\omega_{\boldsymbol{k}’}}}(a_{\boldsymbol{k}’}e^{-ik’x}+a^*_{\boldsymbol{k}’} e^{ik’x})\right\}\right]\\
&=&\iint d^3\boldsymbol{x} d^3\boldsymbol{k}’\frac{\omega_{\boldsymbol{k}’}}{(2\pi)^3\sqrt{\omega_\boldsymbol{k}\omega_{\boldsymbol{k}’}}}a_{\boldsymbol{k}’}e^{-i(\boldsymbol{kx}-\omega_\boldsymbol{k}t)+i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}-\omega_{\boldsymbol{k}’}t)}\\
&=&\int d^3\boldsymbol{k}’\frac{\omega_{\boldsymbol{k}’}}{\sqrt{\omega_\boldsymbol{k}\omega_{\boldsymbol{k}’}}}a_{\boldsymbol{k}’}e^{i(\omega_\boldsymbol{k}-\omega_{\boldsymbol{k}’})t}\delta(-\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}’)(デルタ関数の公式\frac{1}{2\pi}\int e^{i(k-k’)x}dk=\delta(k-k’)より)\\
&=&a_\boldsymbol{k}(デルタ関数の公式\int f(k’)\delta(k-k’)dk’=f(k)より)
\end{eqnarray}$$
となり、予想したとおり、状態ベクトルの展開係数が求まる。同様に
$$\begin{eqnarray}
\langle\phi|\boldsymbol{k}\rangle&=&i\int d^3\boldsymbol{x}\left(\phi\frac{\partial\varphi_\boldsymbol{k}}{\partial t}-\frac{\partial\phi}{\partial t}\varphi_\boldsymbol{k}\right)(実スカラー場では\phi=\phi^*)\\
&=&a^*_\boldsymbol{k}
\end{eqnarray}$$
となる。以上より、クライン-ゴルドン方程式の展開係数と場の関係式は、
$$\begin{eqnarray}
a_\boldsymbol{k}&=&i\int d^3\boldsymbol{x}\left(\varphi_\boldsymbol{k}^*\frac{\partial\phi}{\partial t}-\frac{\partial\varphi_\boldsymbol{k}^*}{\partial t}\phi\right)\\
&=&i\int d^3\boldsymbol{x}\left[\left\{\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^3 2\omega_\boldsymbol{k}}}e^{ikx}\right\}\frac{\partial\phi}{\partial t}-\left\{\frac{i\omega_\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^3 2\omega_\boldsymbol{k}}}e^{ikx}\right\}\phi\right]\\
&=&\int d^3\boldsymbol{x}\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^3 2\omega_\boldsymbol{k}}}e^{ikx}(i\partial_t+\omega_\boldsymbol{k})\phi\\
\end{eqnarray}$$
となる。同様に(もしくは複素共役から)
$$a_\boldsymbol{k}^*=\int d^3\boldsymbol{x}\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^3 2\omega_\boldsymbol{k}}}e^{-ikx}(-i\partial_t+\omega_\boldsymbol{k})\phi$$
となる。さらに、4次元の表記にするために両辺を変形(時間で微分して積分)すると
$$\begin{eqnarray}
\int dt\partial_t a_\boldsymbol{k}&=&\int dt\int d^3\boldsymbol{x}\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^3 2\omega_\boldsymbol{k}}}\partial_t\{e^{ikx}(i\partial_t+\omega_\boldsymbol{k})\phi\}\\
&=&\int d^4x\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^3 2\omega_\boldsymbol{k}}}\{i\omega_\boldsymbol{k}e^{ikx}(i\partial_t\phi+\omega_\boldsymbol{k}\phi)+e^{ikx}(i\partial^2_t\phi+\omega_\boldsymbol{k}\partial_t\phi)\}\\
&=&\int d^4x\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^3 2\omega_\boldsymbol{k}}}ie^{ikx}(\partial^2_t+\omega^2_\boldsymbol{k})\phi\\
&=&i\int d^4x\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^3 2\omega_\boldsymbol{k}}}e^{ikx}(□+m^2)\phi(\omega_\boldsymbol{k}^2=\boldsymbol{k}^2+m^2=-\boldsymbol{\nabla}^2+m^2より)
\end{eqnarray}$$
となり、左辺の積分を実行して、
$$a_\boldsymbol{k}(\infty)-a_\boldsymbol{k}(-\infty)=i\int d^4x\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^3 2\omega_\boldsymbol{k}}}e^{ikx}(□+m^2)\phi$$
となる。同様に(もしくは複素共役から)
$$a_\boldsymbol{k}^*(\infty)-a_\boldsymbol{k}^*(-\infty)=-i\int d^4x\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^3 2\omega_\boldsymbol{k}}}e^{-ikx}(□+m^2)\phi$$
となる。展開係数と場を演算子に読み替えると、場の量子論での生成・消滅演算子と場の演算子の関係式が表せる。

LSZの簡約公式

ここから場の量子論に戻って、粒子がm個からn-m個に散乱することを考える。\(t_i=-\infty\)、\(t_f=\infty\)のとき、
$$\begin{eqnarray}
{}_I\langle f|S|i \rangle_I&=&{}_H\langle f(t_f)|i(t_i)\rangle_H\\
&=&{}_H\langle \Omega|a_{\boldsymbol{k}_{m+1}}(t_f)\cdots a_{\boldsymbol{k}_n}(t_f) \cdot a_{\boldsymbol{k}_1}^\dagger(t_i)\cdots a_{\boldsymbol{k}_m}^\dagger(t_i)|\Omega \rangle_H\\
&=&{}_H\langle\Omega|T\{(a_{\boldsymbol{k}_{m+1}}(t_f)-a_{\boldsymbol{k}_{m+1}}(t_i))\cdots (a_{\boldsymbol{k}_n}(t_f)-a_{\boldsymbol{k}_n}(t_i))\cdot (a_{\boldsymbol{k}_1}^\dagger(t_i)-a_{\boldsymbol{k}_1}^\dagger(t_f))\cdots(a_{\boldsymbol{k}_m}^\dagger(t_i)-a_{\boldsymbol{k}_m}^\dagger(t_f))\}|\Omega \rangle_H(運動量が異なる生成・消滅演算子は交換可能なので、展開して時間順序積で並び替えると、結局1つ前の式の項しか残らない)
\end{eqnarray}$$
となる。上記で求めた生成・消滅演算子と場の演算子の関係式を使って、
$$\fbox{\({}_I\langle f|S|i \rangle_I=\prod_{i=m+1}^n\left\{i\int d^4x_i\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^3 2\omega_\boldsymbol{k_i}}}e^{ik_i x_i}(□_i+m^2)\right\}\prod_{i=1}^m\left\{i\int d^4x_i\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^3 2\omega_\boldsymbol{k_i}}}e^{-ik_i x_i}(□_i+m^2)\right\}{}_H\langle\Omega|T\{\phi_1\cdots\phi_n\}|\Omega\rangle_H\)}$$
となり、この式をレーマン-ジマンチック-チンマーマン(LSZ)の簡約公式と言う。

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