S行列

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漸近場

フォック空間で粒子の相互作用を考える。相互作用が起こる十分に過去もしくは未来の状態(\(t\rightarrow\pm\infty\))は、粒子同士が離れているためフォック空間の自由粒子の個数を表す基底に一致し、そのような状態を漸近場と言う。
加速器実験では、加速器のビームは細いが、素粒子から見れば十分に広い空間なので、衝突前の始状態と観測時の終状態の粒子を自由粒子と考えることができる。

S行列と描像

以下、状態ベクトルを\(|\Psi\rangle\)、始状態の基底を\(|i\rangle\)、終状態の基底を\(|f\rangle\)、その確率振幅を\(\mathscr{A}_{fi}\)と書く。

加速器実験では、始状態の粒子をセットし、終状態の粒子を観測する。(つまり始状態と終状態の粒子の個数は既知である)

実験前の始状態は\(|i(t_i)\rangle=|\Psi(t_i)\rangle\)であり、時間発展後、終状態と状態ベクトルの内積\(\langle f|\Psi\rangle\)が実験で求めたい確率振幅(セットした粒子の衝突により観測された粒子が生成される確率)となる。それぞれの描像で表すと、
$$\begin{eqnarray}
\mathscr{A}_{fi}&=&{}_S\langle f(t_i)|S’|i(t_i)\rangle_S={}_S\langle f(t_i)|S’|\Psi(t_i)\rangle_S={}_S\langle f(t_i)|\Psi(t_f)\rangle_S\\
&=&{}_H\langle f(t_i)|S’|i(t_i)\rangle_H={}_H\langle f(t_f)|i(t_i)\rangle_H={}_H\langle f(t_f)|\Psi(t_i)\rangle_H\\
&=&{}_I\langle f(t_i)|S’|i(t_i)\rangle_I={}_I\langle f(t_i)|e^{-iH_0(t_f-t_i)}\cdot S|i(t_i)\rangle_I={}_I\langle f(t_f)|S|i(t_i)\rangle_I={}_I\langle f(t_f)|S|\Psi(t_i)\rangle_I={}_I\langle f(t_f)|\Psi(t_f)\rangle_I
\end{eqnarray}$$
となる。式中で相互作用を含む時間発展を表す行列\(S\)や\(S’(=e^{-iH_0(t_f-t_i)}S)\)をS行列と言う。シュレディンガー描像やハイゼンベルク描像の時間発展から考えて、

$$S’=e^{-iH(t-t_0)}$$

となるが、相互作用がある場合は\(H\)が時間で変化し、行列\(S’\)は計算出来ないので、今後は相互作用描像の行列\(S\)で考える。ちなみに

$$\fbox{\(\mathscr{A}_{fi}={}_H\langle f|i\rangle_H={}_I\langle f|S|i\rangle_I\)}$$

はよく使う。また教科書によっては、漸近場の表記を使って、

$${}_H\langle\beta\ \mathrm{out}|\alpha\ \mathrm{in}\rangle_H=S_{\beta\alpha}={}_H\langle \beta\ \mathrm{in}|S’|\alpha\ \mathrm{in}\rangle_H$$

と書いてあることもあるが、同じことである。

S行列の計算

ハミルトニアンの相互作用項を\(H_I\)とし、以下、すべての相互作用描像を表す添字\(I\)は省略する。相互作用描像の微分方程式より
$$i\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(t)\rangle=H_I(t)|\Psi(t)\rangle$$
となり、両辺を\(t_i\)から\(t_f\)まで積分すると
$$|\Psi(t_f)\rangle=|\Psi(t_i)\rangle+(-i)\int^{t_f}_{t_i}dtH_I(t)|\Psi(t)\rangle$$
となる。ここから、逐次代入法を使う。つまり、時間を\(n\)分割して、少しずつ進めて考える。\(t_i=t_n\)から\(t_f=t_0\)まで考えると、最初の計算は
$$\begin{eqnarray}
|\Psi(t_{n-1})\rangle&=&|\Psi(t_i)\rangle+(-i)\int^{t_{n-1}}_{t_i}dt_n H_I(t_n)|\Psi(t_i)\rangle\\
&=&\{1+(-i)\int^{t_{n-1}}_{t_i}dt_nH_I(t_n)\}|\Psi(t_i)\rangle
\end{eqnarray}$$
となる。次の計算は
$$\begin{eqnarray}
|\Psi(t_{n-2})\rangle&=&|\Psi(t_i)\rangle+(-i)\int^{t_{n-2}}_{t_i}dt_{n-1}H_I(t_{n-1})|\Psi(t_{n-1})\rangle\\
&=&|\Psi(t_i)\rangle+(-i)\int^{t_{n-2}}_{t_i}dt_{n-1}H_I(t_{n-1})\{1+(-i)\int^{t_{n-1}}_{t_i}dt_n H_I(t_n)\}|\Psi(t_i)\rangle\\
&=&\{1+(-i)\int^{t_{n-2}}_{t_i}dt_{n-1}H_I(t_{n-1})+(-i)^2\int^{t_{n-2}}_{t_i}dt_{n-1}\int^{t_{n-1}}_{t_i}dt_n H_I(t_{n-1})H_I(t_n)\}|\Psi(t_i)\rangle
\end{eqnarray}$$
となる。\(n\)回繰り返すと
$$|\Psi(t_f)\rangle=\{1+(-i)\int^{t_f}_{t_i}dt_1H_I(t_1)+\cdots+(-i)^n\int^{t_f}_{t_i}dt_1\int^{t_1}_{t_i}dt_2\cdots\int^{t_{n-1}}_{t_i}dt_nH_I(t_1)H_I(t_2)\cdots H_I(t_n)\}|\Psi(t_i)\rangle$$
となる。積分変数の大小関係は\(t_f>t_1>t_2>\cdots>t_{n-1}>t_n>t_i\)であるから、ここで被積分関数に階段関数を掛けて、積分の上限を\(t_f\)にそろえると
$$\begin{eqnarray}
|\Psi(t_f)\rangle&=&\{1+(-i)\int^{t_f}_{t_i}dt_1H_I(t_1)+\cdots+(-i)^n\int^{t_f}_{t_i}dt_1\int^{t_f}_{t_i}dt_2\cdots\int^{t_f}_{t_i}dt_nH_I(t_1)H_I(t_2)\cdots H_I(t_n)\theta(t_1-t_2)\theta(t_2-t_3)\dots\theta(t_{n-1}-t_n)\}|\Psi(t_i)\rangle\\
&=&[1+(-i)\int^{t_f}_{t_i}dt_1H_I(t_1)+\cdots+\frac{(-i)^n}{n!}\int^{t_f}_{t_i}dt_1\int^{t_f}_{t_i}dt_2\cdots\int^{t_f}_{t_i}dt_n T\{H_I(t_1)H_I(t_2)\cdots H_I(t_n)\}]|\Psi(t_i)\rangle(時間順序積の定義より)
\end{eqnarray}$$
となる。漸近場の仮定から、\(t_i\)を\(-\infty\)、\(t_f\)を\(\infty\)とし、さらにハミルトニアン密度を使うと、S行列は
$$\begin{eqnarray}
S&=&1+(-i)\int^\infty_{-\infty} d^4 x_1 \mathscr{H}_I(x_1)+\cdots+\frac{(-i)^n}{n!}\int^\infty_{-\infty}d^4x_1\int^\infty_{-\infty}d^4x_2\cdots\int^\infty_{-\infty}d^4x_n T\{\mathscr{H}_I(x_1)\mathscr{H}_I(x_2)\cdots\mathscr{H}_I(x_n)\}\\
&=&T\exp\{(-i)\int^\infty_{-\infty}d^4x\mathscr{H}_I(x)\}
\end{eqnarray}$$
となる。\(\mathscr{H}_I\)が1より小さい場合、逐次近似法が使える。実際に電磁気力では1より小さいので、適当な次数で近似計算が可能となる。また、そのイメージとしては、第1項の1は、0次の近似として何も相互作用しない場合を表す。第2項以降は、\(\mathscr{H}_I\)の数によって、相互作用する力を伝搬する粒子のルートが枝分かれしていく。

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